Probabilità e statistica (1): probabilità, variabili casuali e covarianza

Probabilità e statistica — serie in tre parti

Probabilità, variabili casuali, valore atteso e covarianza (questo articolo)
Distribuzioni discrete: Bernoulli, binomiale, Poisson e il teorema del limite centrale
Distribuzioni continue: dalla normale al chi quadro, e i test statistici

Questo è il primo di tre articoli in cui riordino gli appunti di probabilità e statistica che ho messo insieme lavorando su modelli di intelligenza artificiale. Nei programmi di IA i conti probabilistici saltano fuori di continuo, e per motivi diversi fra loro: c'è una casualità intrinseca nel modello — si pensi a un gioco di carte —, una casualità che nasce dall'osservare la realtà in modo incompleto, e infine l'incertezza che deriva dall'aver modellato il fenomeno in modo approssimato.

Sotto a questi usi ci sono due letture diverse della parola "probabilità". A volte la usiamo per indicare il grado di fiducia che assegniamo a un'ipotesi — la probabilità che un paziente abbia una certa patologia visti i sintomi: è la lettura bayesiana. Altre volte intendiamo la frequenza relativa di un evento in una lunga serie di ripetizioni indipendenti dell'esperimento: è la lettura frequentista. Le due convivono, e la teoria che segue vale per entrambe, perché parte dagli stessi assiomi.

In questa prima parte costruiamo il vocabolario di base: spazio campionario, misura di probabilità, condizionamento e indipendenza, poi le variabili casuali con il loro valore atteso, la varianza e la covarianza. Le distribuzioni concrete — Bernoulli, binomiale, normale e le altre — arrivano nella seconda e nella terza parte, ma poggiano tutte su ciò che vediamo qui.

1. Spazio campionario ed eventi

Il punto di partenza è distinguere i singoli esiti di un esperimento dagli insiemi di esiti a cui vogliamo assegnare una probabilità.

DefinizioneSpazio campionario, eventi. A un esperimento casuale $\mathcal{E}$ associamo l'insieme $\mathbf{S}$ di tutti i risultati ottenibili, detto spazio campionario. I sottoinsiemi di $\mathbf{S}$ si dicono eventi, mentre i singoli elementi di $\mathbf{S}$ si dicono eventi atomici.

Le variabili con cui indichiamo i risultati seguono una convenzione che vale la pena fissare subito: una variabile che assume valori in modo casuale la scriviamo con una lettera maiuscola, $X$, e i valori che essa assume con la corrispondente minuscola indicizzata, $x_i$.

Il linguaggio è insiemistico. Se $A \subseteq \mathbf{S}$ e l'esperimento produce un risultato $s \in A$, diciamo che l'evento $A$ si è verificato. L'insieme vuoto, che non contiene alcun esito, è allora l'evento impossibile, e $\mathbf{S}$, che li contiene tutti, è l'evento certo. Due eventi $A$ e $B$ con $A \cap B = \emptyset$ non possono verificarsi insieme, e si dicono mutuamente esclusivi.

2. La misura di probabilità

Non a tutti i sottoinsiemi di $\mathbf{S}$ è sempre possibile assegnare una probabilità in modo coerente: la famiglia degli eventi "misurabili" deve essere chiusa rispetto alle operazioni che ci servono — passare al complementare, unire, intersecare. Questa richiesta di chiusura ha un nome.

Definizione$\sigma$-algebra. Una famiglia $\mathbb{F}$ di eventi su $\mathbf{S}$ si dice $\sigma$-algebra se:

$A \in \mathbb{F} \Rightarrow \bar{A} \in \mathbb{F}$ (chiusura per complemento);
$(A_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \mathbb{F} \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i \in \mathbb{F}$ (chiusura per unione numerabile);
$\exists\, A \in \mathbb{F}$ (la famiglia non è vuota).

La coppia $(\mathbf{S}, \mathbb{F})$ si dice spazio probabilizzabile.

Le tre condizioni bastano a garantire tutto il resto: dai punti 3 e 1 segue che esiste un $A$ e con esso il suo complementare, dal 2 che la loro unione $\mathbf{S}$ sta in $\mathbb{F}$, e di nuovo dal punto 1 che anche $\emptyset = \bar{\mathbf{S}}$ vi appartiene. L'intersezione numerabile si ottiene per De Morgan a partire da unione e complemento. Su questa struttura possiamo finalmente appoggiare la funzione che misura le probabilità.

DefinizioneSpazio probabilizzante (assiomi di Kolmogorov). Dato uno spazio probabilizzabile $(\mathbf{S}, \mathbb{F})$, se esiste una funzione $P : \mathbb{F} \to \mathbb{R}$ tale che:

$\forall A \in \mathbb{F} : P(A) \geq 0$ (non negatività);
$P(\mathbf{S}) = 1$ (normalizzazione);
data una successione $(A_i)_{i \in \mathbb{N}}$ di eventi a due a due disgiunti, cioè con $A_i \cap A_j = \emptyset$ per $i \neq j$, si ha $P\!\left(\bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i\right) = \sum_{i \in \mathbb{N}} P(A_i)$ (additività numerabile);

allora $(\mathbf{S}, \mathbb{F}, P)$ si dice spazio probabilizzante e $P$ è una misura di probabilità.

Da questi tre assiomi — sorprendentemente pochi — discende ogni proprietà di calcolo che useremo. Le più frequenti sono le seguenti.

ProposizioneProprietà della misura di probabilità. Sia $P$ una misura di probabilità e siano $A, B \in \mathbb{F}$. Allora:

$A \cap B = \emptyset \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B)$;
$P(A) = 1 - P(\bar{A})$, perché $1 = P(\mathbf{S}) = P(A \cup \bar{A}) = P(A) + P(\bar{A})$;
$A \subseteq B \Rightarrow P(A) \leq P(B)$ (monotonia);
$\emptyset \subseteq A \subseteq \mathbf{S} \Rightarrow 0 \leq P(A) \leq 1$;
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ (inclusione-esclusione).

La prima è l'additività finita, caso particolare del terzo assioma. La quinta è quella da tenere a mente: quando $A$ e $B$ possono verificarsi insieme, sommare le due probabilità conta due volte l'intersezione, e va sottratta una volta. È lo stesso principio di inclusione-esclusione che ricorre in combinatoria.

3. Probabilità condizionata

Sapere che un evento si è verificato cambia la probabilità che assegniamo a un altro. Formalizzare questo aggiornamento è il cuore del ragionamento probabilistico, ed è ciò che rende la probabilità uno strumento e non solo una descrizione.

DefinizioneProbabilità condizionata. Sia $(\mathbf{S}, \mathbb{F}, P)$ uno spazio probabilizzante e sia $B \subseteq \mathbf{S}$ un evento con $P(B) \gt 0$. La funzione $$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ è a sua volta una misura di probabilità (su $\mathbf{S}$, condizionata a $B$).

L'idea geometrica è semplice: condizionare a $B$ significa restringere l'universo a $B$, e rinormalizzare dividendo per $P(B)$ affinché la nuova probabilità totale torni a fare 1. Riscrivendo la definizione otteniamo la regola della catena, che esprime la probabilità di un'intersezione come prodotto:

$$P(A \cap B) = P(A \mid B)\, P(B) = P(B \mid A)\, P(A)$$

La doppia scrittura non è un vezzo: uguagliare i due membri di destra è esattamente il passo che porterà alla formula di Bayes. Prima però ci serve un modo per ricostruire la probabilità di un evento a partire da come esso si distribuisce su una partizione.

ProposizioneFormula delle probabilità totali. Sia $\{A_1, \dots, A_n\}$ una partizione di $\mathbf{S}$ e sia $B$ un evento. Allora

$$\begin{aligned} P(B) &= P(B \cap \mathbf{S}) = P\big(B \cap (A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n)\big) \\ &= P\big((B \cap A_1) \cup (B \cap A_2) \cup \dots \cup (B \cap A_n)\big) \\ &= \sum_{i=1}^n P(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^n P(A_i)\, P(B \mid A_i). \end{aligned}$$

Il passaggio chiave è che gli eventi $B \cap A_i$ sono a due a due disgiunti — lo sono gli $A_i$, che formano una partizione — e quindi le loro probabilità si sommano. La lettura è intuitiva: la probabilità di $B$ è la media delle probabilità condizionate $P(B \mid A_i)$, pesate con la probabilità di trovarsi in ciascun "caso" $A_i$.

4. Indipendenza

All'estremo opposto del condizionamento c'è la situazione in cui sapere che $B$ si è verificato non dice nulla su $A$. È il concetto di indipendenza, che semplifica enormemente i calcoli ed è alla base di quasi ogni modello trattabile.

ProposizioneEventi indipendenti. Se vale una qualsiasi di queste condizioni (e allora valgono tutte):

$P(A \mid B) = P(A)$;
$P(B \mid A) = P(B)$;
$P(A \cap B) = P(A)\, P(B)$;

gli eventi $A$ e $B$ si dicono indipendenti (o mutuamente indipendenti).

La terza forma è quella che si prende come definizione, perché è simmetrica e resta valida anche quando le probabilità condizionanti sono nulle. Le prime due la traducono nel linguaggio del condizionamento: la conoscenza di un evento lascia invariata la probabilità dell'altro. Passando da due a molti eventi, la richiesta si irrigidisce: non basta che valga a coppie.

DefinizioneEventi totalmente indipendenti. Gli eventi $A_1, \dots, A_n$ si dicono totalmente indipendenti se, per ogni $k$ con $2 \leq k \leq n$ e ogni scelta di indici distinti $i_1, \dots, i_k$, $$P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \dots \cap A_{i_k}) = P(A_{i_1})\, P(A_{i_2}) \cdots P(A_{i_k}).$$

La differenza è sostanziale: l'indipendenza totale richiede che la fattorizzazione valga per ogni sottoinsieme di eventi, non solo per le coppie. Esistono famiglie di eventi indipendenti a due a due ma non totalmente, e la distinzione, che sembra pedante, ha conseguenze concrete nei modelli grafici probabilistici.

5. La formula di Bayes

Uguagliando le due scritture della regola della catena, $P(A \mid B)\,P(B) = P(B \mid A)\,P(A)$, e ricavando $P(A \mid B)$, si ottiene la formula che permette di invertire il condizionamento: passare da "quanto è probabile il sintomo data la malattia" a "quanto è probabile la malattia dato il sintomo". Combinata con la formula delle probabilità totali al denominatore, assume la sua forma completa.

ProposizioneFormula di Bayes. Sia $\{A_1, \dots, A_n\}$ una partizione di $\mathbf{S}$. Allora, per ogni $k$, $$P(A_k \mid B) = \frac{P(A_k \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A_k)\, P(B \mid A_k)}{P(B)} = \frac{P(A_k)\, P(B \mid A_k)}{\sum_{i=1}^n P(A_i)\, P(B \mid A_i)}.$$

È la formula più usata di tutta la parte bayesiana dell'IA. Il vocabolario che la accompagna: $P(A_k)$ è la probabilità a priori dell'ipotesi $A_k$, $P(B \mid A_k)$ è la verosimiglianza del dato osservato $B$ sotto quell'ipotesi, e $P(A_k \mid B)$ è la probabilità a posteriori, cioè l'ipotesi aggiornata alla luce del dato. Il denominatore è solo la costante di normalizzazione che rende il posteriore una probabilità.

La regola della catena si estende naturalmente a più eventi, ed è il mattone con cui si costruiscono le distribuzioni congiunte fattorizzandole in condizionamenti successivi.

ProposizioneProbabilità congiunta. Dati tre eventi $A, B, C$, $$P(A, B, C) = P(A \cap B \cap C) = P(A \mid B, C)\, P(B \mid C)\, P(C).$$

6. Variabili aleatorie

Finora abbiamo lavorato con eventi, cioè con insiemi. Il passo che rende tutto calcolabile è associare a ogni esito un numero: è la variabile aleatoria, una funzione dallo spazio campionario ai reali.

DefinizioneVariabile aleatoria. Sia $\mathbf{E}$ un esperimento aleatorio e $\mathbf{S}$ lo spazio campionario associato. Una variabile aleatoria è una funzione $X : \mathbf{S} \to \mathbb{R}$. Il suo range (o supporto) è $$R_X = X(\mathbf{S}) = \{\, x \in \mathbb{R} : \exists\, s \in \mathbf{S} \ \text{tale che}\ X(s) = x \,\}.$$

La variabile aleatoria trasporta la probabilità dallo spazio degli esiti allo spazio dei numeri: la probabilità che $X$ assuma il valore $x$ è, per definizione, la probabilità dell'evento $\{s : X(s) = x\}$. Da qui in poi possiamo dimenticare lo spazio campionario e ragionare direttamente sui valori. La nozione di indipendenza si trasferisce parola per parola.

ProposizioneVariabili casuali indipendenti. Due variabili casuali $X$ e $Y$ si dicono indipendenti se la conoscenza di una non dice nulla sull'altra, ossia se $$\forall x, y \quad P(X = x,\, Y = y) = P(X = x)\, P(Y = y),$$ e in tal caso si scrive $X \perp Y$. Data una terza variabile $Z$, diciamo che $X$ e $Y$ sono condizionatamente indipendenti dato $Z$ se $$\forall x, y, z \quad P(X = x,\, Y = y \mid Z = z) = P(X = x \mid Z = z)\, P(Y = y \mid Z = z).$$

L'indipendenza condizionata è più sottile — e più utile — dell'indipendenza semplice: due variabili possono essere dipendenti in assenza di informazione e diventare indipendenti una volta noto $Z$. È esattamente la struttura che le reti bayesiane sfruttano per fattorizzare distribuzioni congiunte altrimenti intrattabili.

7. La funzione generatrice dei momenti

Prima di parlare di media e varianza conviene introdurre uno strumento che le racchiude entrambe, e che tornerà utile in tutte e tre le parti della serie per caratterizzare le distribuzioni: la funzione generatrice dei momenti.

DefinizioneFunzione generatrice dei momenti (MGF). Data una variabile casuale $X$, la sua funzione generatrice dei momenti è $$M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}],$$ cioè il valore atteso di $e^{tX}$.

Il nome dice tutto: la MGF genera i momenti della distribuzione. Derivando $k$ volte rispetto a $t$ e valutando in $t = 0$ si estrae il momento di ordine $k$:

$$\mathbb{E}[X^k] = \left. \frac{d^k M_X(t)}{dt^k} \right|_{t=0}.$$

Il perché si intravede sviluppando $e^{tX} = 1 + tX + \tfrac{t^2}{2}X^2 + \dots$: il coefficiente di $t^k/k!$ nello sviluppo di $M_X(t)$ è proprio $\mathbb{E}[X^k]$. Da qui la prima derivata in zero dà la media, la seconda dà $\mathbb{E}[X^2]$, e così via. La MGF si comporta bene sotto le trasformazioni affini, il che la rende comodissima nei conti.

ProposizioneMGF di una trasformazione affine. Sia $X$ una variabile casuale con MGF $M_X(t)$. Allora la variabile $Y = aX + b$ ha funzione generatrice dei momenti $$M_Y(t) = e^{bt}\, M_X(at).$$

C'è di più, ed è la ragione per cui la MGF è tanto usata: due variabili con la stessa funzione generatrice dei momenti hanno la stessa distribuzione. La MGF, quando esiste, individua la distribuzione senza ambiguità, e questo trasforma molte dimostrazioni "sulle distribuzioni" in semplici conti algebrici su funzioni di $t$.

8. Valore atteso e varianza

I due numeri che riassumono una distribuzione sono il valore atteso, che ne indica il centro, e la varianza, che ne misura la dispersione. Partiamo dal caso discreto.

DefinizioneMedia e varianza di una variabile discreta. Sia $X$ una variabile casuale discreta. Si definisce valore atteso (o valore medio) di $X$ $$\mathbb{E}[X] = \sum_x P(x)\, x,$$ e varianza di $X$ $$\sigma^2 = \mathbb{E}\big[(X - \mathbb{E}[X])^2\big] = \sum_{x_i} (x_i - \mathbb{E}[X])^2\, p(x_i).$$ La quantità $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ si dice deviazione standard di $X$.

Il valore atteso è la media dei valori possibili, ciascuno pesato con la sua probabilità. La varianza è la media degli scarti al quadrato dal centro: sta al quadrato perché scarti positivi e negativi non si compensino, e proprio per questo si misura in unità al quadrato rispetto a $X$. La deviazione standard $\sigma$, riportando la radice, è invece espressa nella stessa unità di misura di $X$, ed è per questo l'indicatore di dispersione che di solito si riporta. La definizione si estende dal calcolare la media di $X$ al calcolare la media di una qualsiasi funzione di $X$.

DefinizioneValore atteso di una funzione. Sia $X$ una variabile casuale con distribuzione di probabilità $P$ e sia $f$ una funzione di $x$. Il valore atteso di $f$ rispetto a $P$ è

se $X$ è discreta: $\displaystyle \mathbb{E}_{x \sim P}[f(x)] = \sum_x P(x)\, f(x)$;
se $X$ è continua: $\displaystyle \mathbb{E}_{x \sim p}[f(x)] = \int_{x \in \mathbf{S}} p(x)\, f(x)\, dx$.

La versione continua anticipa il capitolo sulle variabili continue: la somma diventa un integrale e la distribuzione $P$ una densità $p$, ma la sostanza — mediare i valori di $f$ pesandoli con la probabilità — non cambia. La varianza è un caso particolare di valore atteso di una funzione, quella che misura lo scarto quadratico.

DefinizioneVarianza di una funzione. La varianza misura quanto i valori di $f$ si discostano dal loro valor medio, campionando $x$ dalla distribuzione data: $$\mathrm{Var}[f(x)] = \mathbb{E}\big[(f(x) - \mathbb{E}[f(x)])^2\big].$$

9. Covarianza e correlazione

Con una sola variabile abbiamo centro e dispersione. Con due entra in gioco una domanda nuova: come si muovono insieme? La covarianza risponde misurando quanto due variabili sono legate linearmente.

DefinizioneCovarianza. Date due variabili casuali $X$ e $Y$, la loro covarianza è $$\mathrm{Cov}(X, Y) = \mathbb{E}\big[(X - \mathbb{E}[X])(Y - \mathbb{E}[Y])\big].$$ Due variabili con covarianza nulla si dicono incorrelate.

Il segno della covarianza racconta la direzione del legame: se $X$ tende a stare sopra la sua media quando anche $Y$ sta sopra la propria, i due scarti hanno lo stesso segno e il loro prodotto è positivo, quindi la covarianza è positiva; se una cresce quando l'altra cala, la covarianza è negativa. Sviluppando il prodotto si ottiene una forma di calcolo più comoda.

$$\mathrm{Cov}(X, Y) = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y]$$

Da questa scrittura si legge subito un fatto importante: se $X$ e $Y$ sono indipendenti, allora $\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y]$ e la covarianza è zero. La covarianza gode di una serie di proprietà che la rendono, di fatto, una forma bilineare simmetrica.

ProposizioneProprietà della covarianza.

$\mathrm{Cov}(X, Y) = \mathrm{Cov}(Y, X)$ (simmetria);
$\mathrm{Cov}(aX + b, Y) = a\, \mathrm{Cov}(X, Y)$;
$\mathrm{Cov}(X + Y, Z) = \mathrm{Cov}(X, Z) + \mathrm{Cov}(Y, Z)$ (bilinearità);
$\mathrm{Cov}(X, X) = \mathrm{Var}(X)$;
$\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\,\mathrm{Cov}(X, Y)$;
più in generale, $\displaystyle \mathrm{Cov}\Big(\sum_i X_i,\, \sum_j Y_j\Big) = \sum_{i,j} \mathrm{Cov}(X_i, Y_j)$.

La covarianza ha però un difetto: dipende dalle unità di misura, e quindi il suo valore assoluto non dice se il legame sia "forte" o "debole". Per confrontare, la si normalizza dividendola per il prodotto delle deviazioni standard.

DefinizioneCorrelazione. La correlazione tra due variabili casuali $X$ e $Y$ è la covarianza normalizzata: $$\rho(X, Y) = \frac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma_X\, \sigma_Y}.$$

Il coefficiente $\rho$ è un numero puro compreso fra $-1$ e $1$: vale $+1$ in caso di legame lineare crescente perfetto, $-1$ in caso di legame lineare decrescente perfetto, $0$ in assenza di legame lineare. È il punto in cui vale la pena vedere le tre situazioni tipiche.

La correlazione misura solo il legame lineare: nel pannello centrale i punti sono privi di struttura lineare, ma anche una dipendenza forte e non lineare darebbe $\rho \approx 0$.

Ed è proprio quest'ultima frase il punto delicato, che merita di essere isolato perché è fonte di errori ricorrenti.

Covarianza e indipendenza non coincidono. L'indipendenza implica covarianza nulla, ma non vale il viceversa. La covarianza cattura solo la componente lineare del legame: due variabili possono essere fortemente dipendenti e avere covarianza zero. L'esempio classico: $X \sim U(-1, 1)$, uniforme fra $-1$ e $1$, e $Y = X^2$. Qui $Y$ è completamente determinata da $X$ — dipendenza totale — eppure, per simmetria, $\mathrm{Cov}(X, Y) = 0$. L'incorrelazione è dunque una condizione più debole dell'indipendenza.

Quando le variabili sono più di due, tutte le covarianze a coppie si raccolgono in una matrice.

DefinizioneMatrice di covarianza. La matrice di covarianza di un vettore aleatorio $x \in \mathbb{R}^n$ è la matrice $n \times n$ di elementi $$\mathrm{Cov}(x)_{ij} = \mathrm{Cov}(x_i, x_j),$$ i cui elementi diagonali sono le varianze delle singole componenti, $\mathrm{Cov}(x_i, x_i) = \mathrm{Var}(x_i)$.

È una matrice simmetrica — per la simmetria della covarianza — e semidefinita positiva, e compare ovunque si lavori con dati multidimensionali: nella PCA, nella distanza di Mahalanobis, nella distribuzione normale multivariata. Chiudiamo con le proprietà di valore atteso e varianza rispetto alle operazioni algebriche, che useremo continuamente nelle prossime parti.

ProposizioneProprietà del valore atteso.

se $X = c$ costante, allora $\mathbb{E}[X] = c$;
$\mathbb{E}[aX] = a\, \mathbb{E}[X]$;
$\mathbb{E}[X + Y] = \mathbb{E}[X] + \mathbb{E}[Y]$ (linearità, sempre valida);
se $X, Y$ sono indipendenti, $\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y]$.

ProposizioneProprietà della varianza.

se $c \in \mathbb{R}$, allora $\sigma^2(X + c) = \sigma^2(X)$ (la traslazione non cambia la dispersione);
$\sigma^2(aX) = a^2\, \sigma^2(X)$;
se $X, Y$ sono indipendenti, $\sigma^2(X + Y) = \sigma^2(X) + \sigma^2(Y)$.

Vale la pena notare l'asimmetria fra le due tabelle: il valore atteso è sempre lineare, mentre la varianza lo è solo per il fattore di scala, e la varianza di una somma è additiva unicamente in caso di indipendenza — altrimenti compare il termine di covarianza $2\,\mathrm{Cov}(X, Y)$ visto sopra. È questa additività condizionata che, nella prossima parte, farà crescere la varianza della somma di $n$ prove indipendenti proporzionalmente a $n$, e non a $n^2$.

Dove si va da qui

In questa prima parte abbiamo montato l'impalcatura: dallo spazio campionario e dagli assiomi di Kolmogorov siamo passati al condizionamento e alla formula di Bayes, poi alle variabili aleatorie con valore atteso, varianza, covarianza e correlazione, tenendo da parte la funzione generatrice dei momenti come strumento che le riassume tutte. Sono tutti oggetti "astratti", nel senso che valgono per qualunque distribuzione.

Nella seconda parte diamo carne a questi concetti calcolando esplicitamente media, varianza e MGF per le distribuzioni discrete più importanti — Bernoulli, geometrica, binomiale, binomiale negativa, multinomiale e Poisson — e arriviamo al risultato che le lega tutte quante nel limite: il teorema del limite centrale.

Parte 2: distribuzioni discrete e teorema del limite centrale →

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