Numeri primi e funzione Z di Riemann

Introduzione

In questa nota raccoglierò alcune formule e teoremi inerenti i numeri primi e la funzione Z, al solo fine di avere un punto di raccolta online sul tema, per coloro (presumo pochi) che fossero, come me, appassionati dell'argomento.

Non esporrò tutte le dimostrazioni, ma eventualmente darò i riferimenti su dove trovarle ove si fosse interessati ad esse. In fondo all'articolo c'è una bibliografia con tutto il materiale per approfondire.

La presente nota sarà integrata nel tempo, ossia non è (e forse non lo sarà mai) "finita".

Nomenclatura

$\pi(n)$ = quanti numeri primi ci sono tra 1 e $n$.

Teorema dei numeri primi

Questo teorema è talmente importante che ha una sua sigla propria, ossia TNP. Afferma che

$$\pi(x) \sim \frac{x}{\log x} \qquad [1]$$

ossia che tra 1 ed $n$ ci sono circa $n/\log n$ numeri primi. Statisticamente la probabilità che un numero compreso tra 1 ed $n$ sia primo è $1/\log n$. Alternativamente, l'$n$-esimo numero primo vale circa $n \log n$.

Questo risultato, inizialmente intuito da Gauss, fu provato poi da Hadamard e de la Vallée Poussin nel 1896. Gauss congetturò la stima data da

$$\pi(x) \sim \mathrm{Li}(x)$$

ove $\mathrm{Li}(x)$ è il logaritmo integrale di $x$, definito come

$$\mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac{1}{\log y}\,dy \qquad [2]$$

Il logaritmo integrale $\mathrm{Li}(x)$ è calcolato da 2 per non includere la singolarità nel punto 1, e rispetto alla versione

$$\mathrm{li}(x) = \int_0^x \frac{1}{\log y}\,dy$$

si ha che $\mathrm{Li}(x) = \mathrm{li}(x) - \log 2$. La funzione $\mathrm{li}(x)$ ha un solo zero, circa in $x = 1.4513569\ldots$, costante nota come di Ramanujan-Soldner.

Si osserva che $\pi(x) \lt \mathrm{Li}(x)$ per numeri non troppo grandi, e che il primo cambiamento di segno della loro differenza $\pi(x) - \mathrm{Li}(x)$ è intorno a $10^{371}$. Il primo a congetturare un limite superiore per il primo cambio di segno fu Skewes, che dimostrò che tale numero era inferiore a

$$10^{10^{10^{34}}}$$

poi detto numero di Skewes. Littlewood ha dimostrato che tale differenza cambia di segno infinite volte.

Somma degli inversi dei numeri primi minori di N

Già Eulero dimostrò che

$$\sum_{p \lt x} \frac{1}{p} \sim \log(\log x) \qquad [3]$$

ossia che la somma degli inversi dei numeri primi minori di $x$ tende a $\log(\log x)$, nel senso che il loro rapporto tende a uno.

Tale somma tende all'infinito, molto lentamente, tanto che John Selfridge, un teorico dei numeri, usava dire "Si sa che log(log(n)) cresce all'infinito, ma nessuno l'ha mai visto arrivarci."

In particolare Mertens ha dimostrato che

$$\sum_{p \lt n} \frac{\log p}{p} = \log n + O(1) \qquad [4]$$

Identità di Eulero o prodotto di Eulero

Per $s \in \mathbb{R}$, $\operatorname{Re}(s) \gt 1$:

$$\sum_{n} \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1 - p^{-s}} \qquad [5]$$

Questa identità è molto interessante in quanto mette in relazione un prodotto in cui ci sono tutti i numeri primi con una somma in cui figurano potenze di tutti i numeri naturali. Eulero studiò questa identità sul campo $\mathbb{R}$, poi Riemann la studiò su $\mathbb{C}$ per $\operatorname{Re}(s) \gt 1$, e poi estendendola a tutto $\mathbb{C}$ mediante la funzione $\zeta$.

Funzione fattoriale complesso

Eulero estese la funzione fattoriale $n! = n(n-1)\cdots 3 \cdot 2 \cdot 1$ dai numeri naturali a qualsiasi numero reale maggiore di $-1$, osservando che per $n$ intero

$$n! = \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{n}\,dx \qquad [6]$$

e definendo quindi $\Pi(s)$ la funzione di variabile complessa:

$$\Pi(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{s}\,dx \qquad [7]$$

ove si osserva facilmente che $\Pi(n) = n!$ per $n$ intero.

Tale funzione è strettamente collegata alla funzione $\Gamma$ di Eulero che vedremo tra poco; in alcune scritture tuttavia risulta più comodo usare la funzione $\Pi$ così definita che la funzione $\Gamma$.

Si può provare che si può estendere tale funzione a tutto il piano complesso osservando che:

$$\Pi(s) = \lim_{n \to \infty} \frac{n!\,(n+1)^s}{(s+1)(s+2)\cdots(s+n)} \qquad [8]$$

Si dimostra che valgono le seguenti proprietà per la funzione fattoriale complesso:

$$\Pi(s) = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{n^{1-s}(n+1)^s}{s+n} = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1+\frac{s}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{s} \qquad [9]$$ $$\Pi(s) = s\,\Pi(s-1) \qquad [10]$$ $$\Pi(s)\,\Pi(-s) = \frac{\pi s}{\sin(\pi s)} \qquad [11]$$ $$\Pi(s) = 2^{s}\,\Pi\!\left(\frac{s}{2}\right)\Pi\!\left(\frac{s-1}{2}\right)\pi^{-1/2} \qquad [12]$$

Funzione Gamma Γ di Eulero

Correlata alla funzione fattoriale complesso è la funzione

$$\Gamma(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{s-1}\,dx$$

molto usata in statistica (si veda la distribuzione gamma). Facilmente si osserva che

$$\Pi(s) = \Gamma(s+1) \qquad [13]$$

ossia

$$\Gamma(s) = \Pi(s-1) \qquad [14]$$

quindi per la funzione gamma valgono relazioni simili a quelle riportate ([8], [9], [10], [11]) cambiando $s$ in $s-1$. In particolare

$$\Gamma(n+1) = n! \qquad [15]$$ $$\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n!\,n^z}{z(z+1)\cdots(z+n)} \qquad [16]$$

e l'analoga della [11] è

$$\Gamma(s)\,\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin(\pi s)} \qquad [11a]$$

da cui si ricava facilmente $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$.

Una particolarità delle funzioni $\Pi$ e $\Gamma$ è che, per via della [11] e della [11a], conoscendone il valore in $a+ib$ con $a$ e $b$ reali e $0 \lt a \lt 1$, è possibile ricavarne il valore in un generico $x+ib$ con $x \gt 0$ applicando ricorsivamente la formula, ossia calcolando ad esempio

$$\Gamma(x+ib) = (x+ib)\,\Gamma\big((x-1)+ib\big) = (x+ib)(x-1+ib)\,\Gamma\big((x-2)+ib\big) = \cdots$$

sino ad arrivare alla parte intera $n$ di $x$, per cui si avrà

$$\Gamma(x+ib) = (x+ib)(x-1+ib)\cdots(x-n+ib)\,\Gamma\big((x-n)+ib\big)$$

dove $x-n$ è compreso tra 0 e 1. In sostanza si ha

$$\Gamma(s) = \frac{\Gamma(s+n)}{s(s+1)\cdots(s+n-1)} \qquad [17]$$

da cui possiamo anche osservare che $\Gamma$ ha dei poli semplici in $0, -1, -2, \ldots$ e non ha zeri.

Per $\operatorname{Re}(s) \gt 0$ si ha che $\Gamma(s) \gt 0$, mentre per $\operatorname{Re}(s) \lt 0$ è positiva o negativa a seconda della parte intera di $s$, ossia negativa tra $-1 \lt \operatorname{Re}(s) \lt 0$, positiva tra $-2 \lt \operatorname{Re}(s) \lt -1$, e così via.

Funzione ζ di Riemann

Questa è la sezione che descrive la funzione di maggiore interesse dell'articolo, quindi sarà trattata con maggiore cura. Riemann estende la funzione definita per $\operatorname{Re}(s) \gt 1$

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \qquad [18]$$

con una funzione meromorfa $\zeta$ valida su tutto $\mathbb{C}$ e che soddisfa la seguente equazione funzionale:

$$\zeta(s) = \Pi(-s)\,(2\pi)^{s-1}\,2\sin\!\left(\frac{s\pi}{2}\right)\zeta(1-s) \qquad [19]$$

che si dimostra essere equivalente a

$$\Gamma\!\left(\frac{s}{2}\right)\pi^{-s/2}\,\zeta(s) = \Gamma\!\left(\frac{1-s}{2}\right)\pi^{-(1-s)/2}\,\zeta(1-s) \qquad [19b]$$

come mostreremo ora, a grandi linee. È chiaro quindi che la funzione $\zeta$ è strettamente collegata alla funzione $\Gamma$.

Alla sinistra del semipiano $\operatorname{Re}(s) \gt 1$, sostituendo $nt$ a $t$ nel prodotto di Eulero e calcolando per $x-1$ nella [7], ossia riprendendo la formula già vista

$$\Pi(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{s}\,dt \qquad [7]$$

consideriamo $nx = t$ e quindi $n\,dx = dt$, ottenendo

$$\Pi(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-nx} (nx)^{s}\,n\,dx \qquad [20]$$

e calcolando per $s-1$ otteniamo dopo pochi passaggi

$$\int_{0}^{\infty} e^{-nx} x^{s-1}\,dx = \frac{\Pi(s-1)}{n^s} \qquad [21]$$

A questo punto Riemann somma i due membri per $n$ che varia da 1 a $\infty$:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\infty} e^{-nx} x^{s-1}\,dx = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\Pi(s-1)}{n^s}$$

e, osservato che

$$\sum_{n=1}^{\infty} r^{-n} = \frac{1}{1-r^{-1}} - 1 = \frac{r}{r-1} - 1 = \frac{1}{r-1}$$

ove in questo caso $r = e^{-x}$, che non dipende da $s$ e quindi si può eseguire a parte, ottiene

$$\int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}\,dx = \Pi(s-1)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} = \Pi(s-1)\,\zeta(s) \qquad [22]$$

È possibile dimostrare un lemma, che qui non dimostriamo, che stabilisce che

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{(-x)^s}{e^{x}-1}\frac{dx}{x} = \left(e^{i\pi s} - e^{-i\pi s}\right)\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}\,dx \qquad [23]$$

Dove con integrale da $+\infty$ a $+\infty$ si intende un integrale curvilineo che parte da $+\infty$ e si muove in senso antiorario sotto l'asse delle ascisse, gira intorno all'origine e torna a $+\infty$ sopra l'asse delle ascisse.

E che, ricordando la definizione di seno complesso

$$\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$$

si ha in questo caso $z = \pi s$, dà

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{(-x)^s}{e^{x}-1}\frac{dx}{x} = 2i\sin(\pi s)\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}\,dx \qquad [24]$$

quindi per la [22] si ha:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{(-x)^s}{e^{x}-1}\frac{dx}{x} = 2i\sin(\pi s)\,\Pi(s-1)\,\zeta(s) \qquad [25]$$

Applicando la [10] $\big(\Pi(s) = s\,\Pi(s-1)\big)$ sulla parte destra e moltiplicando ambo i membri per $\Pi(-s)/2\pi i$, dà

$$\frac{\Pi(-s)}{2\pi i}\int_{+\infty}^{+\infty} \frac{(-x)^s}{e^{x}-1}\frac{dx}{x} = \frac{\sin(\pi s)\,\Pi(-s)\,\Pi(s)}{\pi s}\,\zeta(s) \qquad [26]$$

e tenuto conto della proprietà [11], $\Pi(s)\Pi(-s) = \dfrac{\pi s}{\sin(\pi s)}$, si ottiene finalmente

$$\zeta(s) = \frac{\Pi(-s)}{2\pi i}\int_{+\infty}^{+\infty} \frac{(-x)^s}{e^{x}-1}\frac{dx}{x} \qquad [27]$$

Quando $\operatorname{Re}(s) \gt 1$ questa converge a

$$\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}\,dx \qquad [27b]$$

Valori di ζ(s), zeri banali

Considerando la funzione $x/(e^{x}-1)$ possiamo notare che è la funzione generatrice per i numeri di Bernoulli $B_n$, con $B_0 = 1$, $B_1 = -1/2$. Ossia

$$\frac{x}{e^{x}-1} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n x^n}{n!} \qquad [28]$$

Da cui ricorsivamente si calcolano, e si può dimostrare che tutti i $B_n$ con $n$ dispari maggiore di uno sono pari a zero.

La [28] può essere usata per calcolare i valori di $\zeta(-n)$ con $n = 0, 1, 2, \ldots$, ottenendo infatti che (vedasi rif. [1], pag. 12):

$$\zeta(-n) = (-1)^n \frac{B_{n+1}}{n+1} \qquad [29]$$

da cui discendono tutti gli zeri cosiddetti "banali" della funzione $\zeta$: essendo $B_n$ pari a zero per tutti gli $n$ dispari maggiori di uno, si ha che $\zeta(-2n) = 0$ per ogni $n \gt 0$.

Inoltre si ha che

$$\zeta(2n) = \frac{(2\pi)^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}}{2\,(2n)!} \qquad [30]$$

Ipotesi di Riemann

Tutti gli zeri non banali di $\zeta(s)$ hanno parte reale pari a 1/2.

Per provare questa ipotesi si è cercato di esprimere $\zeta(s)$ in vari modi, per evidenziarne alcune proprietà.

formula ricostruita dal contesto (l'immagine non aveva alt) errore nella formula originale, corretto ricostruzione incerta, da controllare sull'immagine -->

Equazione funzionale

Prende il nome di equazione funzionale di $\zeta$ la seguente uguaglianza, che lega $\zeta(s)$ e $\zeta(1-s)$:

$$\zeta(s) = \Pi(-s)\,(2\pi)^{s-1}\,2\sin\!\left(\frac{s\pi}{2}\right)\zeta(1-s) \qquad [31]$$

Con una serie di passaggi è possibile dimostrare che quest'ultima è equivalente alla seguente:

$$\Pi\!\left(\frac{s}{2}-1\right)\pi^{-s/2}\,\zeta(s) = \Pi\!\left(\frac{1-s}{2}-1\right)\pi^{-(1-s)/2}\,\zeta(1-s) \qquad [32]$$

Questa è la "forma simmetrica dell'equazione funzionale", da cui si evince chiaramente che la funzione a sinistra dell'uguaglianza non cambia sostituendo $s$ con $1-s$.

La stessa si può anche esprimere in funzione di $\Gamma(s)$, ricordando che $\Gamma(s) = \Pi(s-1)$:

$$\Gamma\!\left(\frac{s}{2}\right)\pi^{-s/2}\,\zeta(s) = \Gamma\!\left(\frac{1-s}{2}\right)\pi^{-(1-s)/2}\,\zeta(1-s) \qquad [33]$$

Che è quella che abbiamo anticipato nella [19b]. Da questa uguaglianza si evince chiaramente che gli zeri di $\zeta$ sono simmetrici rispetto all'asse $x = 1/2$.

Definendo la funzione teta

$$\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n^2\pi x} \qquad [34]$$

si può dimostrare che tale funzione converge molto rapidamente e che, per $s$ qualsiasi,

$$\Pi\!\left(\frac{s}{2}-1\right)\pi^{-s/2}\,\zeta(s) = \int_{1}^{\infty}\psi(x)\left[x^{s/2}+x^{(1-s)/2}\right]\frac{dx}{x} - \frac{1}{s(1-s)} \qquad [35]$$

Che è un altro modo di evidenziare come la funzione sia invariante alla sostituzione di $s$ con $1-s$. Dalla [35] si può anche dedurre che la funzione nella parte sinistra dell'uguaglianza ha poli in 0 e in 1.

Funzione ξ(s)

Riemann moltiplica la funzione alla sinistra della [32] per $s(s-1)/2$, ottenendo:

$$\Pi\!\left(\frac{s}{2}-1\right)\pi^{-s/2}\,\zeta(s)\,\frac{s(s-1)}{2}$$

e, ricordando che $\Pi(s) = s\,\Pi(s-1)$, ossia che $\frac{s}{2}\Pi\!\left(\frac{s}{2}-1\right) = \Pi\!\left(\frac{s}{2}\right)$, definisce:

$$\xi(s) = \Pi\!\left(\frac{s}{2}\right)(s-1)\,\pi^{-s/2}\,\zeta(s) \qquad [36]$$

L'equazione funzionale di $\zeta(s)$ equivale a $\xi(s) = \xi(1-s)$.

Si noti che esistono versioni equivalenti delle equazioni funzionali, che usano la funzione $\Gamma$ invece di $\Pi$. Basterà ricordare che $\Gamma(s+1) = \Pi(s)$ ed ottenere quindi, dalla [31], sostituendo $\Pi(-s)$ con $\Gamma(1-s)$:

$$\zeta(s) = \Gamma(1-s)\,(2\pi)^{s-1}\,2\sin\!\left(\frac{s\pi}{2}\right)\zeta(1-s) \qquad [37]$$

e dalla [36], essendo $\Pi(s/2) = \Gamma(s/2+1) = (s/2)\,\Gamma(s/2)$, si ha

$$\xi(s) = \frac{s(s-1)}{2}\,\Gamma\!\left(\frac{s}{2}\right)\pi^{-s/2}\,\zeta(s) \qquad [38]$$

La funzione $\xi(s)$ ha gli stessi zeri della funzione $\zeta(s)$, ad eccezione di quelli banali, ed è per questo che in questa sede ci interessiamo alla sua valutazione. Si dimostra che anche per $\xi$ vale la formula $\xi(s) = \xi(1-s)$.

Funzione ξ(s) come serie di potenze

Si dimostra che è possibile esprimere $\xi(s)$ come serie di potenze:

$$\xi(s) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n}\left(s-\frac{1}{2}\right)^{2n} \qquad [39]$$

ove

$$a_{2n} = 4\int_{1}^{\infty} \frac{d\left[x^{3/2}\psi'(x)\right]}{dx}\,x^{-1/4}\,\frac{\left(\frac{1}{2}\log x\right)^{2n}}{(2n)!}\,dx \qquad [40]$$

e dove $\psi(x)$ è quella introdotta al punto [34].

Prodotto di Hadamard

Si dimostra che è possibile esprimere $\xi(s)$ come prodotto infinito:

$$\xi(s) = \frac{1}{2}\prod_{\rho}\left(1 - \frac{s}{\rho}\right) \qquad [41]$$

ove $\rho$ spazia tra le radici di $\xi$, a patto di prenderle a coppie, ossia raggruppando le radici di tipo $\rho$ e $1-\rho$.

Relazioni tra ζ(s) e numeri primi

Usando il prodotto di Eulero [5] e la definizione [18], per $\operatorname{Re}(s) \gt 1$ si ha

$$\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} \qquad [42]$$

dove $p$ varia tra i numeri primi. Da cui, effettuando il logaritmo di ambo i membri e sviluppando in serie, si ottiene per $\operatorname{Re}(s) \gt 1$

$$\log \zeta(s) = \sum_{p}\sum_{n}\frac{1}{n}\,p^{-ns} \qquad [43]$$

A questo punto dobbiamo introdurre una nuova fondamentale funzione, J(x), che inizia da 0 per $x=0$ e aumenta di uno dopo ogni numero primo $p$, di 1/2 dopo ogni quadrato di numero primo e di $1/n$ per ogni potenza $n$-esima di un numero primo. Nel punto esatto di ogni salto la funzione $J(x)$ è definita come la media tra i due valori prima e dopo il salto.

In sostanza $J(x) = 0$ per $0 \le x \lt 2$, $J(2) = 1/2$, $J(x) = 1$ per $2 \lt x \lt 3$, $J(3) = 1.5$, $J(x) = 2$ per $3 \lt x \lt 5$, e così via.

Fatta questa premessa, possiamo riscrivere la [43] come:

$$\log \zeta(s) = \int_{0}^{\infty} x^{-s}\,dJ(x) \qquad [44]$$

Dove l'integrale in questione è un integrale di Stieltjes. A proposito, si ricorda che l'integrale di Riemann-Stieltjes di $f$ rispetto a $g$ è definito come

$$\int_a^b f(x)\,dg(x) = \lim_{\delta(P)\to 0} \sum_{c_i \in P} f(c_i)\big(g(x_{i+1})-g(x_i)\big) \qquad [45]$$

ove $P = \{x_0 = a \lt x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_n = b\}$ è una partizione di $[a,b]$ e $c_1 \ldots c_n$ sono presi ognuno da $[x_i, x_{i+1}]$, e $\delta(P)$ è il "calibro" della partizione, pari al $\max|x_i - x_{i+1}|$, se il limite esiste indipendentemente dalla scelta dei punti $c_i$.

Si dimostra che, ove $f$ sia integrabile secondo Riemann, si ha

$$\int_a^b f(x)\,dg(x) = \int_a^b f(x)\,g'(x)\,dx \qquad [46]$$

Alternativamente, senza ricorrere all'integrale di Stieltjes, la [44] si può scrivere, per $\operatorname{Re}(s) \gt 1$, come:

$$\log \zeta(s) = s\int_{0}^{\infty} J(x)\,x^{-(s+1)}\,dx \qquad [47]$$

In sostanza il logaritmo della funzione $\zeta$ è pari all'integrale di $x^{-s}$ rispetto alla funzione $J$, che è una funzione che "conta" i numeri primi e le loro potenze, dando come conteggio l'esponente con cui trova il numero primo.

Inversione di Fourier

Dalla [47], dividendo ambo i termini per $s$, si ottiene per $\operatorname{Re}(s) \gt 1$

$$\frac{\log \zeta(s)}{s} = \int_{0}^{\infty} J(x)\,x^{-(s+1)}\,dx \qquad [48]$$

ed effettuando alcuni passaggi, che includono l'applicazione del teorema di inversione di Fourier, si ottiene per $a \gt 1$

$$J(x) = \frac{1}{2\pi i}\int_{a-i\infty}^{a+i\infty} \log\big(\zeta(s)\big)\,x^{s}\,\frac{ds}{s} \qquad [49]$$

Tenendo presente la definizione di $\xi(s)$ data dalla [36], possiamo ottenere un'espressione alternativa per $\log \zeta(s)$:

$$\log \zeta(s) = \log \xi(s) - \log \Pi\!\left(\frac{s}{2}\right) + \frac{s}{2}\log \pi - \log(s-1) \qquad [50]$$

e poi, usando la [41], abbiamo che

$$\log \zeta(s) = \log\frac{1}{2} + \sum_{\rho}\log\!\left(1-\frac{s}{\rho}\right) - \log \Pi\!\left(\frac{s}{2}\right) + \frac{s}{2}\log \pi - \log(s-1) \qquad [51]$$

e si dimostra che in questa espressione il termine predominante è l'ultimo, ossia $-\log(s-1)$, quando $s$ tende a 1.

Se consideriamo nuovamente la [44] e deriviamo ambo i membri rispetto a $s$, ricordando che $\frac{d}{ds}x^{-s} = -\log(x)\,x^{-s}$, otteniamo

$$\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = -\int_{0}^{\infty} x^{-s}\log(x)\,dJ(x) \qquad [52]$$

Funzione Ψ(x), o funzione di Chebyshev

La misura $(\log x)\,dJ(x)$ è una misura punto a punto che assegna $\log(p^n)/n$ alle potenze dei numeri primi $p^n$ e 0 a tutti gli altri punti, quindi la [48] può essere espressa come un integrale di Stieltjes sulla funzione $\Psi(x)$, che inizia assegnando 0 a $x=0$ e poi ha un salto di $\log(p^n)/n = \log p$ ad ogni potenza $p^n$ di un numero primo. Ossia:

$$\Psi(x) = \sum_{p^n \le x} \log p \qquad [53]$$

A questo punto possiamo riscrivere la [52] come:

$$-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \int_{0}^{\infty} x^{-s}\,d\Psi(x) \qquad [54]$$

Funzione di von Mangoldt

Consideriamo la funzione, detta di von Mangoldt,

$$\Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \text{se } n = p^k \text{ per qualche primo } p \text{ e } k \ge 1 \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \qquad [55]$$

Questa funzione assegna ad $n$ il peso attribuito dalla funzione $\Psi$. Si può osservare che

$$\Psi(x) = \sum_{n \le x} \Lambda(n) \qquad [56]$$

e tramite la funzione di von Mangoldt si può esprimere la [54] in termini di sommatoria:

$$-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=2}^{\infty} \Lambda(n)\,n^{-s} \qquad [57]$$

Si può dimostrare che

$$\Psi(x) = x - \sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} + \sum_{n} \frac{x^{-2n}}{2n} - \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} \qquad [58]$$

e considerato che

$$\log\!\left(\frac{1}{1-x}\right) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \cdots$$

e sostituendo l'ultimo termine col suo valore si ottiene:

$$\Psi(x) = x - \sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} + \frac{1}{2}\log\frac{x^2}{x^2-1} - \log 2\pi \qquad [59]$$

Formula principale di Riemann

Nel suo lavoro, Riemann dimostrò (e successivamente, in maniera più rigorosa, von Mangoldt) che, per $x \gt 1$:

$$J(x) = \mathrm{Li}(x) - \sum_{\rho} \mathrm{Li}\big(x^{\rho}\big) - \log 2 + \int_{x}^{\infty} \frac{dt}{t(t^2-1)\log t} \qquad [60]$$

In questa formula $\rho$ varia tra le soluzioni non banali di $\zeta$.

Osservando i due membri, a sinistra abbiamo $J(x)$, che come abbiamo visto è la funzione che inizia da 0 per $x=0$ e aumenta di uno dopo ogni numero primo $p$, di 1/2 dopo ogni quadrato di numero primo e di $1/n$ per ogni potenza $n$-esima di un numero primo. Analiticamente si ha che

$$J(x) = \sum_{n} \frac{\pi\big(x^{1/n}\big)}{n} \qquad [61]$$

$\mathrm{Li}(x)$ è il logaritmo integrale di $x$, e il risultato della funzione è sempre reale anche se i vari $\rho$ sono numeri complessi, poiché le parti immaginarie degli zeri sono simmetriche rispetto all'origine.

Valori noti di ζ(s)

Tra i valori noti di $\zeta(s)$ si segnalano:

$$\zeta(0) = -\frac{1}{2} \qquad\qquad \zeta(-1) = -\frac{1}{12}$$

Bibliografia

In ordine di rilevanza:

Riemann's Zeta Function, H. M. Edwards
Prime number theorem e Funzione zeta di Riemann su Wikipedia
On the Number of Prime Numbers less than a Given Quantity, Bernhard Riemann, tradotto da David R. Wilkins
L'ossessione dei numeri primi, John Derbyshire
L'enigma dei numeri primi, Marcus du Sautoy
Breve storia dei numeri primi, Alessandro Zaccagnini
Il teorema dei numeri primi, Flavio Cimolin
Il teorema dei numeri primi, Mauro Davide Ferrario

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